1. Identificación de ángulos:
$$ \alpha = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ = \frac{\pi}{3} $$
$$ \beta = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) \implies \cos \beta = -\frac{1}{7} $$

2. Obtención de $\sen \beta$:
Como el coseno es negativo y pertenece al rango de la función arcocoseno $[0, \pi]$, el ángulo está en el segundo cuadrante.
$$ \sen \beta = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7} $$

3. Cálculo del coseno de la suma ($\alpha + \beta$):
$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sen \alpha \sen \beta $$
$$ \cos\left( \frac{\pi}{3} + \beta \right) = \left( \frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{7} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{4\sqrt{3}}{7} \right) $$
$$ \cos\left( \frac{\pi}{3} + \beta \right) = -\frac{1}{14} - \frac{4(3)}{14} = -\frac{1}{14} - \frac{12}{14} = -\frac{13}{14} $$

4. Conclusión:
Aplicando la función inversa:
$$ \frac{\pi}{3} + \beta = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right) $$
$$ \boxed{\arccos \frac{1}{2} + \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right)} $$