1. Análisis de los términos:
Sea $\alpha = \arcsen \frac{4}{5}$, $\beta = \arcsen \frac{5}{13}$ y $\gamma = \arcsen \frac{16}{65}$.
Debemos probar que $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$, o equivalentemente, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma$.

2. Valores trigonométricos:
$$ \begin{array}{lll} \sen \alpha = \frac{4}{5} & \cos \alpha = \sqrt{1-(4/5)^2} = \frac{3}{5} \\ \sen \beta = \frac{5}{13} & \cos \beta = \sqrt{1-(5/13)^2} = \frac{12}{13} \\ \sen \gamma = \frac{16}{65} & \cos \gamma = \sqrt{1-(16/65)^2} = \frac{63}{65} \end{array} $$

3. Cálculo de $\sen(\alpha + \beta)$:
$$ \sen(\alpha + \beta) = \sen \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sen \beta $$
$$ \sen(\alpha + \beta) = \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{12}{13} \right) + \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{5}{13} \right) = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65} $$

4. Comparación con el tercer ángulo:
Notamos que $\sen(\alpha + \beta) = \frac{63}{65}$, que es exactamente el valor de $\cos \gamma$.
Sabemos por ángulos complementarios que si $\sen(\alpha + \beta) = \cos \gamma$, entonces:
$$ (\alpha + \beta) + \gamma = \frac{\pi}{2} $$

Gráfica de relaciones:
$$ \begin{array}{c} \text{Relación de Senos y Cosenos} \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ángulo} & \text{Seno} & \text{Coseno} \\ \hline \alpha & 4/5 & 3/5 \\ \beta & 5/13 & 12/13 \\ \alpha+\beta & 63/65 & 16/65 \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Por lo tanto:
$$ \boxed{\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}} $$