Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_097
Práctica Preuniversitaria
Enunciado
Demostrar que:
$$\arccos \sqrt{\frac{2}{3}} - \arccos \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$$
$$\arccos \sqrt{\frac{2}{3}} - \arccos \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$$
Solución Paso a Paso
1. Definición de variables:
Asignamos ángulos a las funciones trigonométricas inversas:
$$ \alpha = \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} \implies \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} $$
$$ \beta = \arccos \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \implies \cos \beta = \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} $$
2. Cálculo de las funciones seno asociadas:
Utilizamos la identidad $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
Para $\alpha$:
$$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
Para $\beta$:
$$ \sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6 + 1 + 2\sqrt{6}}{12}} = \sqrt{\frac{12 - 7 - 2\sqrt{6}}{12}} = \sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{6}}{12}} $$
Observamos que $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$, por lo tanto:
$$ \sin \beta = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} $$
Representación de los triángulos:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Ángulo } \alpha & \text{Ángulo } \beta \\ \hline \begin{array}{l} \text{Cat. Ady} = \sqrt{2} \\ \text{Cat. Op} = 1 \\ \text{Hip} = \sqrt{3} \end{array} & \begin{array}{l} \text{Cat. Ady} = \sqrt{6}+1 \\ \text{Cat. Op} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \text{Hip} = 2\sqrt{3} \end{array} \\ \hline \end{array} $$
3. Aplicación de la identidad del coseno de la diferencia:
Queremos demostrar que $\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$, por lo que verificamos $\cos(\alpha - \beta)$:
$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right) \left( \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right) $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{6} $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
4. Conclusión:
Como $\cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces:
$$ \alpha - \beta = \arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6} $$
$$ \boxed{\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}} $$
Asignamos ángulos a las funciones trigonométricas inversas:
$$ \alpha = \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} \implies \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} $$
$$ \beta = \arccos \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \implies \cos \beta = \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} $$
2. Cálculo de las funciones seno asociadas:
Utilizamos la identidad $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
Para $\alpha$:
$$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
Para $\beta$:
$$ \sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6 + 1 + 2\sqrt{6}}{12}} = \sqrt{\frac{12 - 7 - 2\sqrt{6}}{12}} = \sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{6}}{12}} $$
Observamos que $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$, por lo tanto:
$$ \sin \beta = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} $$
Representación de los triángulos:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Ángulo } \alpha & \text{Ángulo } \beta \\ \hline \begin{array}{l} \text{Cat. Ady} = \sqrt{2} \\ \text{Cat. Op} = 1 \\ \text{Hip} = \sqrt{3} \end{array} & \begin{array}{l} \text{Cat. Ady} = \sqrt{6}+1 \\ \text{Cat. Op} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \text{Hip} = 2\sqrt{3} \end{array} \\ \hline \end{array} $$
3. Aplicación de la identidad del coseno de la diferencia:
Queremos demostrar que $\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$, por lo que verificamos $\cos(\alpha - \beta)$:
$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right) \left( \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \right) $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{6} $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
4. Conclusión:
Como $\cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces:
$$ \alpha - \beta = \arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6} $$
$$ \boxed{\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}} $$