1. Definición del ángulo:
Sea $\theta = \arccos x$. Por definición de la función inversa, esto implica que:
$$ \cos \theta = x $$
Donde $\theta \in [0, \pi]$.

2. Construcción del triángulo rectángulo:
Podemos representar $\theta$ en un triángulo rectángulo donde el coseno (adyacente/hipotenusa) sea $x/1$:
$$ \begin{array}{l} \text{Hipotenusa} (h) = 1 \\ \text{Cateto Adyacente} (ca) = x \\ \text{Cateto Opuesto} (co) = \text{?} \end{array} $$

Usando el Teorema de Pitágoras ($h^2 = ca^2 + co^2$):
$$ 1^2 = x^2 + co^2 \implies co^2 = 1 - x^2 \implies co = \sqrt{1 - x^2} $$

3. Obtención de la tangente:
La función tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
$$ \tan \theta = \frac{co}{ca} $$
Sustituyendo los valores encontrados:
$$ \tan(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $$

Conclusión:
La identidad queda demostrada.
$$ \boxed{\tan(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}} $$