1. Definición de variables:
Asignamos ángulos a las funciones inversas:

• Sea $\alpha = \text{arcsen } \frac{2}{3} \implies \text{sen } \alpha = \frac{2}{3}$.


• Sea $\beta = \text{arcsen } \frac{1}{3} \implies \text{sen } \beta = \frac{1}{3}$.

2. Cálculo de funciones trigonométricas auxiliares:
Usando la identidad $\cos^2 \theta + \text{sen}^2 \theta = 1$:

• Para $\alpha$: $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.


• Para $\beta$: $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3. Aplicación de identidades de ángulo doble para $2\beta$:

• $\text{sen } 2\beta = 2 \text{sen } \beta \cos \beta = 2 \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.


• $\cos 2\beta = 1 - 2\text{sen}^2 \beta = 1 - 2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

4. Desarrollo de la expresión principal:
La expresión es $F = \cos(\alpha - 2\beta)$. Aplicamos la fórmula del coseno de una resta:
$$ F = \cos \alpha \cos 2\beta + \text{sen } \alpha \text{ sen } 2\beta $$

Sustituyendo los valores obtenidos:
$$ F = \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) \left( \frac{7}{9} \right) + \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{4\sqrt{2}}{9} \right) $$
$$ F = \frac{7\sqrt{5}}{27} + \frac{8\sqrt{2}}{27} $$

Resultado final:
$$ \boxed{F = \frac{7\sqrt{5} + 8\sqrt{2}}{27}} $$