Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_092
2do Ex. I-2010
Enunciado
Paso 1:
El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones.
El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones.
Solución Paso a Paso
Este ejercicio presenta las mismas condiciones que el anterior, aplicado en un contexto de examen.
Datos de la Progresión Aritmética (P.A.):
$$ \begin{array}{l} a_2 = 14 \\ a_3 = 16 \\ d = 16 - 14 = 2 \\ a_1 = 14 - 2 = 12 \end{array} $$
Calculamos la suma requerida para la P.G.:
$$ \sum_{i=1}^{3} a_i = 12 + 14 + 16 = 42 $$
Datos de la Progresión Geométrica (P.G.):
Utilizando la fórmula de la suma de una P.G. para $n$ términos: $S_n = g_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$
$$ \begin{array}{rcl} 42 & = & g_1 \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \\ 42 & = & g_1 \frac{8 - 1}{1} \\ 42 & = & 7g_1 \\ g_1 & = & 6 \end{array} $$
Los términos resultantes son:
$$ \begin{array}{l} g_1 = 6 \\ g_2 = 6 \times 2 = 12 \\ g_3 = 12 \times 2 = 24 \end{array} $$
Esquema comparativo:
$$ \begin{array}{c|c} \text{P.A.} & \text{P.G.} \\ \hline 12, 14, 16 & 6, 12, 24 \\ \sum = 42 & \sum = 42 \\ d = 2 & r = 2 \end{array} $$
Resultado:
$$ \boxed{P.G.: 6; 12; 24} $$
Datos de la Progresión Aritmética (P.A.):
$$ \begin{array}{l} a_2 = 14 \\ a_3 = 16 \\ d = 16 - 14 = 2 \\ a_1 = 14 - 2 = 12 \end{array} $$
Calculamos la suma requerida para la P.G.:
$$ \sum_{i=1}^{3} a_i = 12 + 14 + 16 = 42 $$
Datos de la Progresión Geométrica (P.G.):
- Razón ($r$): $r = d = 2$
- Suma ($S_3$): $S_3 = 42$
Utilizando la fórmula de la suma de una P.G. para $n$ términos: $S_n = g_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$
$$ \begin{array}{rcl} 42 & = & g_1 \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \\ 42 & = & g_1 \frac{8 - 1}{1} \\ 42 & = & 7g_1 \\ g_1 & = & 6 \end{array} $$
Los términos resultantes son:
$$ \begin{array}{l} g_1 = 6 \\ g_2 = 6 \times 2 = 12 \\ g_3 = 12 \times 2 = 24 \end{array} $$
Esquema comparativo:
$$ \begin{array}{c|c} \text{P.A.} & \text{P.G.} \\ \hline 12, 14, 16 & 6, 12, 24 \\ \sum = 42 & \sum = 42 \\ d = 2 & r = 2 \end{array} $$
Resultado:
$$ \boxed{P.G.: 6; 12; 24} $$