1. Definición de variables:
Sea la sucesión: $x_1, x_2, x_3, x_4$.

2. Aplicación de condiciones:

• P.A. (primeros tres): $x_1, x_2, x_3 \implies 2x_2 = x_1 + x_3 \quad \text{--- (1)}$
• P.G. (últimos tres): $x_2, x_3, x_4 \implies x_3^2 = x_2 \cdot x_4 \quad \text{--- (2)}$
• Sumas dadas:
  
  • $x_1 + x_4 = 24 \quad \text{--- (3)}$
  • $x_2 + x_3 = 18 \implies x_2 = 18 - x_3 \quad \text{--- (4)}$

3. Reducción del sistema a una sola variable ($x_3$):
De (1) y (4), despejamos $x_1$:
$$ x_1 = 2x_2 - x_3 = 2(18 - x_3) - x_3 = 36 - 3x_3 $$
De (3), despejamos $x_4$:
$$ x_4 = 24 - x_1 = 24 - (36 - 3x_3) = 3x_3 - 12 $$
Sustituimos $x_2$ y $x_4$ en la condición de P.G. (2):
$$ x_3^2 = (18 - x_3)(3x_3 - 12) $$
$$ x_3^2 = 54x_3 - 216 - 3x_3^2 + 12x_3 $$
$$ 4x_3^2 - 66x_3 + 216 = 0 \implies 2x_3^2 - 33x_3 + 108 = 0 $$

4. Cálculo de raíces para $x_3$:
Usando la fórmula general:
$$ x_3 = \frac{33 \pm \sqrt{(-33)^2 - 4(2)(108)}}{2(2)} = \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 864}}{4} = \frac{33 \pm 15}{4} $$
Las dos soluciones son: $x_{3a} = 12$ y $x_{3b} = 9/2$.

5. Obtención de las sucesiones completas:

• Si $x_3 = 12$:
  $x_2 = 18 - 12 = 6$; $x_1 = 2(6) - 12 = 0$; $x_4 = 24 - 0 = 24$.
  Sucesión: $0, 6, 12, 24$.
• Si $x_3 = 9/2$:
  $x_2 = 18 - 4.5 = 13.5 = 27/2$; $x_1 = 2(13.5) - 4.5 = 22.5 = 45/2$; $x_4 = 24 - 22.5 = 1.5 = 3/2$.
  Sucesión: $45/2, 27/2, 9/2, 3/2$.

Resultado final:
$$ \boxed{ \text{1ra sol: } \frac{45}{2}, \frac{27}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}; \quad \text{2da sol: } 0, 6, 12, 24 $$