Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_080
Propia reformulación
Enunciado
Paso 1:
Se tiene una progresión aritmética tal que su segundo término es $9$ y su tercer término es $13$. Se desea construir una progresión geométrica cuya razón sea numéricamente igual a la diferencia de la progresión aritmética mencionada. Determine el primer término de la progresión geométrica, sabiendo que la suma de sus tres primeros términos es igual a la suma de los tres primeros términos de la progresión aritmética.
Se tiene una progresión aritmética tal que su segundo término es $9$ y su tercer término es $13$. Se desea construir una progresión geométrica cuya razón sea numéricamente igual a la diferencia de la progresión aritmética mencionada. Determine el primer término de la progresión geométrica, sabiendo que la suma de sus tres primeros términos es igual a la suma de los tres primeros términos de la progresión aritmética.
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la Progresión Aritmética (PA):
Sean los términos $a_1, a_2, a_3$.
Datos: $a_2 = 9$, $a_3 = 13$.
La diferencia común $d$ es:
$$d = a_3 - a_2 = 13 - 9 = 4$$
El primer término $a_1$ es:
$$a_1 = a_2 - d = 9 - 4 = 5$$
La suma de los tres primeros términos $S_{PA}$ es:
$$S_{PA} = 5 + 9 + 13 = 27$$
2. Análisis de la Progresión Geométrica (PG):
Sean los términos $g_1, g_2, g_3$ con razón $r$.
Dato: la razón $r$ es igual a la diferencia $d$, entonces $r = 4$.
La suma de los tres primeros términos $S_{PG}$ es:
$$S_{PG} = g_1(1 + r + r^2) = g_1(1 + 4 + 4^2) = 21g_1$$
3. Igualación de sumas:
Según el enunciado, $S_{PG} = S_{PA}$:
$$21g_1 = 27 \Rightarrow g_1 = \frac{27}{21} = \frac{9}{7}$$
Resultado: El primer término de la progresión geométrica es $\frac{9}{7}$.
Sean los términos $a_1, a_2, a_3$.
Datos: $a_2 = 9$, $a_3 = 13$.
La diferencia común $d$ es:
$$d = a_3 - a_2 = 13 - 9 = 4$$
El primer término $a_1$ es:
$$a_1 = a_2 - d = 9 - 4 = 5$$
La suma de los tres primeros términos $S_{PA}$ es:
$$S_{PA} = 5 + 9 + 13 = 27$$
2. Análisis de la Progresión Geométrica (PG):
Sean los términos $g_1, g_2, g_3$ con razón $r$.
Dato: la razón $r$ es igual a la diferencia $d$, entonces $r = 4$.
La suma de los tres primeros términos $S_{PG}$ es:
$$S_{PG} = g_1(1 + r + r^2) = g_1(1 + 4 + 4^2) = 21g_1$$
3. Igualación de sumas:
Según el enunciado, $S_{PG} = S_{PA}$:
$$21g_1 = 27 \Rightarrow g_1 = \frac{27}{21} = \frac{9}{7}$$
Resultado: El primer término de la progresión geométrica es $\frac{9}{7}$.