Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_077
Propia reformulación
Enunciado
Paso 1:
Tres números forman una progresión aritmética y su suma es igual a $21$. Si a estos números se les suma $2$, $3$ y $9$ respectivamente, se obtienen tres nuevos números que se encuentran en progresión geométrica. Encuentre los números originales de la progresión aritmética.
Tres números forman una progresión aritmética y su suma es igual a $21$. Si a estos números se les suma $2$, $3$ y $9$ respectivamente, se obtienen tres nuevos números que se encuentran en progresión geométrica. Encuentre los números originales de la progresión aritmética.
Solución Paso a Paso
1. Definición de la PA:
Sean los números $x-d, x, x+d$.
Suma: $(x-d) + x + (x+d) = 21 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7$.
Los números son: $7-d, 7, 7+d$.
2. Transformación a PG:
Sumamos las cantidades indicadas:
$(7-d)+2, 7+3, (7+d)+9 \Rightarrow 9-d, 10, 16+d$.
3. Propiedad de la PG:
En una PG de tres términos $a, b, c$, se cumple $b^2 = ac$:
$$10^2 = (9-d)(16+d)$$
$$100 = 144 + 9d - 16d - d^2$$
$$d^2 + 7d - 44 = 0$$
4. Resolución de la ecuación cuadrática:
Factorizando: $(d + 11)(d - 4) = 0$.
Si $d = 4$, los números son: $7-4, 7, 7+4 \Rightarrow 3, 7, 11$.
Si $d = -11$, los números son: $7-(-11), 7, 7+(-11) \Rightarrow 18, 7, -4$.
Resultado: Los números originales pueden ser $\{3, 7, 11\}$ o $\{18, 7, -4\}$.
Sean los números $x-d, x, x+d$.
Suma: $(x-d) + x + (x+d) = 21 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7$.
Los números son: $7-d, 7, 7+d$.
2. Transformación a PG:
Sumamos las cantidades indicadas:
$(7-d)+2, 7+3, (7+d)+9 \Rightarrow 9-d, 10, 16+d$.
3. Propiedad de la PG:
En una PG de tres términos $a, b, c$, se cumple $b^2 = ac$:
$$10^2 = (9-d)(16+d)$$
$$100 = 144 + 9d - 16d - d^2$$
$$d^2 + 7d - 44 = 0$$
4. Resolución de la ecuación cuadrática:
Factorizando: $(d + 11)(d - 4) = 0$.
Si $d = 4$, los números son: $7-4, 7, 7+4 \Rightarrow 3, 7, 11$.
Si $d = -11$, los números son: $7-(-11), 7, 7+(-11) \Rightarrow 18, 7, -4$.
Resultado: Los números originales pueden ser $\{3, 7, 11\}$ o $\{18, 7, -4\}$.