Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_075
Propia reformulación
Enunciado
Paso 1:
El primer y tercer término de una progresión aritmética coinciden con el primer y tercer término de una progresión geométrica, respectivamente. El primer término en ambas sucesiones es $4$. Determine ambas progresiones si se sabe que el segundo término de la progresión aritmética excede al segundo término de la progresión geométrica en $8$ unidades.
El primer y tercer término de una progresión aritmética coinciden con el primer y tercer término de una progresión geométrica, respectivamente. El primer término en ambas sucesiones es $4$. Determine ambas progresiones si se sabe que el segundo término de la progresión aritmética excede al segundo término de la progresión geométrica en $8$ unidades.
Solución Paso a Paso
1. Definición de las progresiones:
Sea la PA: $4, 4+d, 4+2d$.
Sea la PG: $4, 4r, 4r^2$.
2. Relación de términos:
Dado que el tercer término es igual en ambas:
$$4 + 2d = 4r^2 \Rightarrow 2d = 4r^2 - 4 \Rightarrow d = 2(r^2 - 1) \quad \text{--- (Eq. 1)}$$
Dado que $a_2 = g_2 + 8$:
$$4 + d = 4r + 8 \Rightarrow d = 4r + 4 \quad \text{--- (Eq. 2)}$$
3. Resolución del sistema:
Igualamos (Eq. 1) y (Eq. 2):
$$2(r^2 - 1) = 4(r + 1)$$
Dividiendo entre 2 y factorizando:
$$(r-1)(r+1) = 2(r+1)$$
Descartando la solución trivial $r = -1$ (donde la progresión sería oscilante o nula en diferencia):
$$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$$
Sustituyendo $r=3$ en (Eq. 2):
$$d = 4(3) + 4 = 16$$
4. Construcción de las progresiones:
PA: $4, 20, 36$
PG: $4, 12, 36$
Resultado: Las progresiones son $\{4, 20, 36\}$ y $\{4, 12, 36\}$.
Sea la PA: $4, 4+d, 4+2d$.
Sea la PG: $4, 4r, 4r^2$.
2. Relación de términos:
Dado que el tercer término es igual en ambas:
$$4 + 2d = 4r^2 \Rightarrow 2d = 4r^2 - 4 \Rightarrow d = 2(r^2 - 1) \quad \text{--- (Eq. 1)}$$
Dado que $a_2 = g_2 + 8$:
$$4 + d = 4r + 8 \Rightarrow d = 4r + 4 \quad \text{--- (Eq. 2)}$$
3. Resolución del sistema:
Igualamos (Eq. 1) y (Eq. 2):
$$2(r^2 - 1) = 4(r + 1)$$
Dividiendo entre 2 y factorizando:
$$(r-1)(r+1) = 2(r+1)$$
Descartando la solución trivial $r = -1$ (donde la progresión sería oscilante o nula en diferencia):
$$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$$
Sustituyendo $r=3$ en (Eq. 2):
$$d = 4(3) + 4 = 16$$
4. Construcción de las progresiones:
PA: $4, 20, 36$
PG: $4, 12, 36$
Resultado: Las progresiones son $\{4, 20, 36\}$ y $\{4, 12, 36\}$.