1. Datos del problema:

• Radio inicial: $R_1 = r$


• Proceso: Cada nueva circunferencia se describe sobre el radio de la anterior. Esto implica que el diámetro de la nueva es igual al radio de la anterior, por lo tanto, el nuevo radio es la mitad: $R_{n+1} = \frac{R_n}{2}$.


• Objetivo: Suma de las longitudes de las semicircunferencias $L = \sum L_n$.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Longitud de una semicircunferencia: $L_s = \pi \cdot R$


• Suma de una serie geométrica infinita ($|q| < 1$): $S = \frac{a_1}{1 - q}$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Determinar los radios de la progresión.

Los radios forman una progresión geométrica:
$$r, \frac{r}{2}, \frac{r}{4}, \frac{r}{8}, \dots$$
Donde el primer término es $a_1 = r$ y la razón es $q = \frac{1}{2}$.

• Paso 2: Expresar la suma de las longitudes.

La suma de las longitudes de las semicircunferencias es:
$$L = \pi \cdot r + \pi \cdot \left(\frac{r}{2}\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{4}\right) + \dots$$
Factorizando $\pi$:
$$L = \pi \left( r + \frac{r}{2} + \frac{r}{4} + \dots \right)$$

• Paso 3: Calcular la suma infinita.

Aplicamos la fórmula de la serie geométrica para los radios:
$$S_{radios} = \frac{r}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{r}{\frac{1}{2}} = 2r$$

• Paso 4: Calcular la longitud total.

$$L = \pi \cdot (2r) = 2\pi r$$

$$ \text{Resultado} = 2r $$

4. Resultado final:
La suma de las longitudes es proporcional a 2r.
Respuesta: c)