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MATU • Algebra
MATU_PROG_061
Guía de ejercicios
Enunciado
Un rollo de papel cuyo diámetro es de 30 cm consta de 50 vueltas de papel fuertemente enrollado en un cilindro macizo de 10 cm de diámetro. ¿Qué longitud tiene el papel?
a) 31,416 m b) 3,1416 m c) 314,16 m d) 3141,6 m e) 0,31416 m
a) 31,416 m b) 3,1416 m c) 314,16 m d) 3141,6 m e) 0,31416 m
Solución Paso a Paso
1. Datos:
2. Razonamiento:
La longitud de cada vuelta forma una progresión aritmética ya que el diámetro aumenta uniformemente. La longitud total es la suma de las circunferencias.
3. Desarrollo paso a paso:
$$L_{media} = \pi \frac{10 + 30}{2} = 20\pi \text{ cm}$$
$$L = n \cdot L_{media} = 50 \cdot 20\pi = 1000\pi \text{ cm}$$
$$L = 1000 \cdot 3,1416 = 3141,6 \text{ cm}$$
$$L = \frac{3141,6}{100} = 31,416 \text{ m}$$
4. Resultado final:
La longitud del papel es 31,416 m.
Respuesta: a)
- Diámetro inicial (cilindro): $d_i = 10 \text{ cm}$.
- Diámetro final (rollo): $d_f = 30 \text{ cm}$.
- Número de vueltas: $n = 50$.
2. Razonamiento:
La longitud de cada vuelta forma una progresión aritmética ya que el diámetro aumenta uniformemente. La longitud total es la suma de las circunferencias.
3. Desarrollo paso a paso:
- Longitud media de una vuelta: $L_{media} = \pi \frac{d_i + d_f}{2}$
$$L_{media} = \pi \frac{10 + 30}{2} = 20\pi \text{ cm}$$
- Longitud total $L$:
$$L = n \cdot L_{media} = 50 \cdot 20\pi = 1000\pi \text{ cm}$$
- Conversión a metros (usando $\pi \approx 3,1416$):
$$L = 1000 \cdot 3,1416 = 3141,6 \text{ cm}$$
$$L = \frac{3141,6}{100} = 31,416 \text{ m}$$
4. Resultado final:
La longitud del papel es 31,416 m.
Respuesta: a)