1. Datos del problema:

• Progresión Aritmética (P.A.): $a_1 = 3$, un término intermedio $a_k = 30$, y el último término $a_n = P$.


• Número de términos entre 3 y 30: $m$.


• Número de términos entre 30 y $P$: $m$.


• Suma de todos los términos: $S_n = 570$.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Término general: $a_n = a_1 + (n-1)r$


• Suma de términos: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:

• Si hay $m$ términos entre 3 y 30, el 30 es el término de posición $m+2$. Entonces:

$$30 = 3 + (m+1)r \implies (m+1)r = 27$$

• Si hay $m$ términos entre 30 y $P$, la distancia posicional es la misma. El término $P$ está a $m+1$ posiciones de 30:

$$P = 30 + (m+1)r$$
Sustituyendo $(m+1)r = 27$:
$$P = 30 + 27 = 57$$

• Ahora usamos la suma total para hallar el número total de términos $n$:

$$570 = \frac{(3 + 57)n}{2} = \frac{60n}{2} = 30n$$
$$n = \frac{570}{30} = 19$$

• El número total de términos es $n = (m+1) + (m+1) + 1 = 2m + 3$.

$$19 = 2m + 3 \implies 2m = 16 \implies m = 8$$

• Finalmente, hallamos la razón $r$ usando $(m+1)r = 27$:

$$(8+1)r = 27 \implies 9r = 27 \implies r = 3$$

4. Resultado final:
La razón de la progresión es 3.
Respuesta: c)