Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_048
Banco de ejercicios
Enunciado
La suma de tres números en P.G. es 70, se multiplican los extremos por 4 y el intermedio por 5, los productos están en P.A., hallar el término central.
a) 10 b) 20 c) 40 d) 60 e) 5
a) 10 b) 20 c) 40 d) 60 e) 5
Solución Paso a Paso
1. Datos:
Sean los números en P.G.: $\frac{a}{q}, a, aq$.
Suma: $a(\frac{1}{q} + 1 + q) = 70$ (Eq. 1).
Nueva serie en P.A.: $\frac{4a}{q}, 5a, 4aq$.
2. Propiedad de la P.A.:
$2(5a) = \frac{4a}{q} + 4aq \implies 10a = 4a(\frac{1}{q} + q) \implies \frac{5}{2} = \frac{1}{q} + q$.
Resolviendo para $q$: $2q^2 - 5q + 2 = 0 \implies (2q - 1)(q - 2) = 0$. Entonces $q = 2$ (o $1/2$).
3. Cálculo de $a$:
Sustituimos $q = 2$ en (Eq. 1):
$a(\frac{1}{2} + 1 + 2) = 70 \implies a(3.5) = 70 \implies a = \frac{70}{3.5} = 20$.
4. Resultado:
El término central es $a = 20$. (Opción b)
Sean los números en P.G.: $\frac{a}{q}, a, aq$.
Suma: $a(\frac{1}{q} + 1 + q) = 70$ (Eq. 1).
Nueva serie en P.A.: $\frac{4a}{q}, 5a, 4aq$.
2. Propiedad de la P.A.:
$2(5a) = \frac{4a}{q} + 4aq \implies 10a = 4a(\frac{1}{q} + q) \implies \frac{5}{2} = \frac{1}{q} + q$.
Resolviendo para $q$: $2q^2 - 5q + 2 = 0 \implies (2q - 1)(q - 2) = 0$. Entonces $q = 2$ (o $1/2$).
3. Cálculo de $a$:
Sustituimos $q = 2$ en (Eq. 1):
$a(\frac{1}{2} + 1 + 2) = 70 \implies a(3.5) = 70 \implies a = \frac{70}{3.5} = 20$.
4. Resultado:
El término central es $a = 20$. (Opción b)