Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_046
Banco de ejercicios
Enunciado
Hallar la suma límite de:
$$\frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \dots$$
a) $\frac{5}{9}$ b) $\frac{7}{9}$ c) $\frac{10}{81}$ d) $\frac{7}{81}$ e) $\frac{5}{81}$
$$\frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \dots$$
a) $\frac{5}{9}$ b) $\frac{7}{9}$ c) $\frac{10}{81}$ d) $\frac{7}{81}$ e) $\frac{5}{81}$
Solución Paso a Paso
1. Identificación:
Es una serie aritmético-geométrica de la forma $S = \sum_{n=1}^{\infty} n r^n$ donde $r = \frac{1}{10}$.
2. Fórmula:
La suma de una serie de la forma $S = r + 2r^2 + 3r^3 + \dots$ es $S = \frac{r}{(1-r)^2}$ para $|r| < 1$.
3. Desarrollo:
Sustituimos $r = \frac{1}{10}$:
$$S = \frac{\frac{1}{10}}{(1 - \frac{1}{10})^2} = \frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{81}{100}}$$
$$S = \frac{1}{10} \cdot \frac{100}{81} = \frac{10}{81}$$
4. Resultado:
La suma límite es $\frac{10}{81}$. (Opción c)
Es una serie aritmético-geométrica de la forma $S = \sum_{n=1}^{\infty} n r^n$ donde $r = \frac{1}{10}$.
2. Fórmula:
La suma de una serie de la forma $S = r + 2r^2 + 3r^3 + \dots$ es $S = \frac{r}{(1-r)^2}$ para $|r| < 1$.
3. Desarrollo:
Sustituimos $r = \frac{1}{10}$:
$$S = \frac{\frac{1}{10}}{(1 - \frac{1}{10})^2} = \frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{81}{100}}$$
$$S = \frac{1}{10} \cdot \frac{100}{81} = \frac{10}{81}$$
4. Resultado:
La suma límite es $\frac{10}{81}$. (Opción c)