1. Datos del problema:

• Sea $S_n$ y $S'_n$ las sumas de dos progresiones aritméticas.
• La relación es: $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{5n + 7}{7n + 1}$
• Se busca: $\frac{a_{13}}{a'_{13}}$

2. Fórmulas:

• Suma de una P.A.: $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$
• Término general: $a_n = a_1 + (n-1)d$

3. Desarrollo:
Expresamos la razón de las sumas:
$$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]}{\frac{n}{2}[2a'_1 + (n-1)d']} = \frac{5n + 7}{7n + 1} \implies \frac{2a_1 + (n-1)d}{2a'_1 + (n-1)d'} = \frac{5n + 7}{7n + 1}$$
Queremos hallar $\frac{a_{13}}{a'_{13}} = \frac{a_1 + 12d}{a'_1 + 12d'}$. Para que la expresión de la suma se parezca a esta, dividimos numerador y denominador por 2:
$$\frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d}{a'_1 + \frac{n-1}{2}d'} = \frac{5n + 7}{7n + 1}$$
Igualamos los coeficientes de $d$: $\frac{n-1}{2} = 12 \implies n - 1 = 24 \implies n = 25$.
Sustituimos $n = 25$ en la relación original:
$$\frac{a_{13}}{a'_{13}} = \frac{5(25) + 7}{7(25) + 1} = \frac{125 + 7}{175 + 1} = \frac{132}{176}$$
Simplificando: $\frac{132}{176} = \frac{33}{44} = \frac{3}{4}$.

4. Resultado:
La razón es $\frac{3}{4}$. (Opción c)