Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_043
Original
Enunciado
Paso 1:
Hallar la razón de una sucesión geométrica decreciente cuyo primer término sea la unidad y tal que los términos de lugar 2do, 4to y 5to formen una sucesión armónica.
Hallar la razón de una sucesión geométrica decreciente cuyo primer término sea la unidad y tal que los términos de lugar 2do, 4to y 5to formen una sucesión armónica.
Solución Paso a Paso
1. Datos:
P.G.: $1, r, r^2, r^3, r^4, \dots$ con $0 < r < 1$.
Términos seleccionados: $t_2 = r, t_4 = r^3, t_5 = r^4$.
Estos forman una P.H.
2. Propiedad de P.H.:
Los recíprocos están en P.A.: $\frac{1}{r}, \frac{1}{r^3}, \frac{1}{r^4}$.
$$2\left(\frac{1}{r^3}\right) = \frac{1}{r} + \frac{1}{r^4}$$
Multiplicando toda la ecuación por $r^4$:
$$2r = r^3 + 1 \implies r^3 - 2r + 1 = 0$$
3. Desarrollo:
Factorizando por Ruffini (sabemos que $r=1$ es raíz, pero no sirve pues la P.G. es decreciente):
$$(r - 1)(r^2 + r - 1) = 0$$
Para $r^2 + r - 1 = 0$:
$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
Como $r > 0$, tomamos $r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Resultado final:
La razón es $r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
P.G.: $1, r, r^2, r^3, r^4, \dots$ con $0 < r < 1$.
Términos seleccionados: $t_2 = r, t_4 = r^3, t_5 = r^4$.
Estos forman una P.H.
2. Propiedad de P.H.:
Los recíprocos están en P.A.: $\frac{1}{r}, \frac{1}{r^3}, \frac{1}{r^4}$.
$$2\left(\frac{1}{r^3}\right) = \frac{1}{r} + \frac{1}{r^4}$$
Multiplicando toda la ecuación por $r^4$:
$$2r = r^3 + 1 \implies r^3 - 2r + 1 = 0$$
3. Desarrollo:
Factorizando por Ruffini (sabemos que $r=1$ es raíz, pero no sirve pues la P.G. es decreciente):
$$(r - 1)(r^2 + r - 1) = 0$$
Para $r^2 + r - 1 = 0$:
$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
Como $r > 0$, tomamos $r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Resultado final:
La razón es $r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.