1. Datos del problema:

• Progresión Geométrica (P.G.) creciente: $a, b, c$, donde $a > 0$ y la razón $r > 1$.
• Relación de términos en P.G.: $b = ar$, $c = ar^2$.
• Condición de suma: $a + b + c = 7$.
• Nueva terna en Progresión Aritmética (P.A.): $4a, 5b, 4c$.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Término general de una P.G.: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
• Propiedad de la P.A.: Para tres términos consecutivos $x, y, z$, se cumple que $2y = x + z$.
• Fórmula cuadrática: $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

3. Desarrollo paso a paso:

Paso 1: Expresar la suma en función de $a$ y $r$
Sustituimos $b$ y $c$ en la ecuación de la suma:
$$a + ar + ar^2 = 7$$
Factoreando $a$:
$$a(1 + r + r^2) = 7 \quad \dots \text{(Ecuación 1)}$$

Paso 2: Aplicar la condición de Progresión Aritmética
Para la terna $4a, 5ar, 4ar^2$, aplicamos la propiedad de la P.A.:
$$2(5ar) = 4a + 4ar^2$$
$$10ar = 4a(1 + r^2)$$
Como los números son positivos ($a > 0$), podemos dividir toda la ecuación entre $2a$:
$$5r = 2(1 + r^2)$$
$$2r^2 - 5r + 2 = 0$$

Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática para $r$
Aplicamos la fórmula general:
$$r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$$
$$r = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$$

• $r_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
• $r_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

Dado que el enunciado indica que la progresión es creciente, seleccionamos $r = 2$ (ya que $r > 1$).

Paso 4: Hallar los valores de $a, b$ y $c$
Sustituimos $r = 2$ en la (Ecuación 1):
$$a(1 + 2 + 2^2) = 7 \Rightarrow a(7) = 7 \Rightarrow a = 1$$
Calculamos los demás términos:

• $a = 1$
• $b = 1 \cdot 2 = 2$
• $c = 1 \cdot 2^2 = 4$

Paso 5: Determinar la P.A. resultante
Multiplicamos los valores obtenidos según las condiciones:

• Primero: $4a = 4(1) = 4$
• Segundo: $5b = 5(2) = 10$
• Tercero: $4c = 4(4) = 16$

4. Resultado final:
Los números buscados son $a = 1, b = 2, c = 4$.
La progresión aritmética resultante es: $4, 10, 16$.