1. Datos del problema:

• P.G.: $g_1, g_1 r, g_1 r^2$. Suma: $g_1(1 + r + r^2) = 124$.
• Relación con P.A.: $a_1 = g_1$, $a_2 = g_1 r$, $a_7 = g_1 r^2$.

2. Desarrollo paso a paso:\\
Paso 1: Expresar la razón aritmética $d$
$d = a_2 - a_1 = g_1 r - g_1 = g_1(r - 1)$.
También $a_7 = a_1 + 6d$:
$$ g_1 r^2 = g_1 + 6(g_1(r-1)) $$
Dividiendo por $g_1$ (suponiendo $g_1 \neq 0$):
$$ r^2 = 1 + 6r - 6 \implies r^2 - 6r + 5 = 0 $$
Factorizando: $(r-5)(r-1) = 0$.
Si $r=1$ la progresión es constante. Probamos con $r=5$.

Paso 2: Calcular términos
Sustituimos $r=5$ en la suma de la P.G.:
$$ g_1(1 + 5 + 25) = 124 \implies 31g_1 = 124 \implies g_1 = 4 $$
Los términos de la P.G. son: $4, 20, 100$.
Estos son $a_1, a_2, a_7$ de la P.A.

Paso 3: Hallar $d$ y $a_3$
$$ d = a_2 - a_1 = 20 - 4 = 16 $$
$$ a_3 = a_1 + 2d = 4 + 2(16) = 36 $$

3. Resultado final:
Razón aritmética $d = 16$; tercer término $a_3 = 36$.