Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_034
Propio
Enunciado
Paso 1:
En una progresión aritmética el 1er término es 1 y la suma de los siete primeros es 2555. Hallar el término central de una progresión geométrica que consta de siete términos, si el 1ro y el último coinciden con los términos respectivos de la progresión aritmética indicada.
En una progresión aritmética el 1er término es 1 y la suma de los siete primeros es 2555. Hallar el término central de una progresión geométrica que consta de siete términos, si el 1ro y el último coinciden con los términos respectivos de la progresión aritmética indicada.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:\\
Paso 1: Hallar $a_7$ de la P.A.
$$ S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7) = 2555 $$
$$ a_1 + a_7 = \frac{2555 \cdot 2}{7} = 730 $$
$$ 1 + a_7 = 730 \implies a_7 = 729 $$
Paso 2: Hallar la razón de la P.G.
$g_1 = 1$ y $g_7 = 729$.
$$ g_7 = g_1 \cdot r^{n-1} \implies 729 = 1 \cdot r^6 $$
$$ 3^6 = r^6 \implies r = \pm 3 $$
Paso 3: Calcular el término central $g_4$
$$ g_4 = g_1 \cdot r^3 = 1 \cdot (\pm 3)^3 = \pm 27 $$
4. Resultado final:
El término central es $g_4 = \pm 27$.
- P.A.: $a_1 = 1$, $n=7$, $S_7 = 2555$.
- P.G.: $g_1 = a_1$, $g_7 = a_7$, $n=7$.
- Incógnita: Término central $g_4$.
2. Desarrollo paso a paso:\\
Paso 1: Hallar $a_7$ de la P.A.
$$ S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7) = 2555 $$
$$ a_1 + a_7 = \frac{2555 \cdot 2}{7} = 730 $$
$$ 1 + a_7 = 730 \implies a_7 = 729 $$
Paso 2: Hallar la razón de la P.G.
$g_1 = 1$ y $g_7 = 729$.
$$ g_7 = g_1 \cdot r^{n-1} \implies 729 = 1 \cdot r^6 $$
$$ 3^6 = r^6 \implies r = \pm 3 $$
Paso 3: Calcular el término central $g_4$
$$ g_4 = g_1 \cdot r^3 = 1 \cdot (\pm 3)^3 = \pm 27 $$
4. Resultado final:
El término central es $g_4 = \pm 27$.