MATU_PROG_033

1ra sol ($x=10$): P.A.: $4, 10, 16$; P.G.: $4, 10, 25$.
2da sol ($x=5/2$): P.A.: $4, 5/2, 1$; P.G.: $4, 5/2, 25/16$.

Ii MATU • Algebra

2do Ex. I-2010

158 / 1460

Enunciado

Paso 1:
Se tienen dos progresiones, una aritmética y otra geométrica; ambas tienen el mismo primer término, su valor es 4, el segundo término en ambas progresiones también es el mismo, pero no conocemos su valor. El tercer término de la P.G. es $25/16$ del tercer término de la P.A. Hallar los tres números.

Solución Paso a Paso

1. Datos del problema:

P.A.: $a_1, a_2, a_3$
P.G.: $g_1, g_2, g_3$
$a_1 = g_1 = 4$
$a_2 = g_2 = x$
$g_3 = \frac{25}{16} a_3$

2. Desarrollo paso a paso:\\
Paso 1: Expresar los términos en función de $x$
Para la P.A.:
$a_1 = 4$
$a_2 = x$
$a_3 = a_1 + 2(a_2 - a_1) = 4 + 2(x - 4) = 2x - 4$

Para la P.G.:
$g_1 = 4$
$g_2 = x$
$g_3 = g_1 \cdot (\frac{g_2}{g_1})^2 = 4 \cdot (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{4}$

Paso 2: Aplicar la condición del tercer término
$$ \frac{x^2}{4} = \frac{25}{16} (2x - 4) $$
Multiplicamos por 16:
$$ 4x^2 = 25(2x - 4) \implies 4x^2 = 50x - 100 $$
$$ 4x^2 - 50x + 100 = 0 \implies 2x^2 - 25x + 50 = 0 $$
Resolviendo por fórmula cuadrática o factorización:
$$ (2x - 5)(x - 10) = 0 $$
Obtenemos dos soluciones para $x$: $x_1 = 10$ y $x_2 = 5/2$.

Paso 3: Determinar las progresiones