Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_027
2do Ex. II-2011
Enunciado
Paso 1:
Hallar 3 números en progresión geométrica sabiendo que su suma es $26$ y que si se suman respectivamente a ellos los números $1, 6$ y $3$ se obtienen tres números que están en progresión aritmética.
Hallar 3 números en progresión geométrica sabiendo que su suma es $26$ y que si se suman respectivamente a ellos los números $1, 6$ y $3$ se obtienen tres números que están en progresión aritmética.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
Resultado final: Las soluciones son $2, 6, 18$ y $18, 6, 2$.
- P.G.: $a, ar, ar^2$ con $a + ar + ar^2 = 26$
- P.A. resultante: $a+1, ar+6, ar^2+3$
2. Desarrollo paso a paso:
- Propiedad de la P.A.: $2(ar + 6) = (a + 1) + (ar^2 + 3)$
$$2ar + 12 = a + ar^2 + 4 \implies a + ar^2 = 2ar + 8$$ - De la suma de la P.G.: $a + ar^2 = 26 - ar$.
- Igualamos: $2ar + 8 = 26 - ar \implies 3ar = 18 \implies ar = 6$.
- Entonces $a = 6/r$. Sustituimos en la suma:
$$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 26 \implies \frac{6}{r} + 6r = 20 \implies 3r^2 - 10r + 3 = 0$$ - Factorizando: $(3r-1)(r-3) = 0$.
- Si $r = 3 \implies a = 2$. P.G.: $2, 6, 18$.
- Si $r = 1/3 \implies a = 18$. P.G.: $18, 6, 2$.
Resultado final: Las soluciones son $2, 6, 18$ y $18, 6, 2$.