Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_026
2do Ex. II-2011
Enunciado
Paso 1:
La suma de tres términos en progresión geométrica es $14$. Sabiendo que si se incrementan los dos primeros términos en una unidad y se disminuye la misma cantidad al tercero, los números que resultan forman una progresión aritmética. Establecer la progresión geométrica.
La suma de tres términos en progresión geométrica es $14$. Sabiendo que si se incrementan los dos primeros términos en una unidad y se disminuye la misma cantidad al tercero, los números que resultan forman una progresión aritmética. Establecer la progresión geométrica.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
Resultado final: Existen dos soluciones: $(2, 4, 8)$ y $(8, 4, 2)$.
- P.G.: $x, xr, xr^2$
- Suma: $x + xr + xr^2 = 14$
- Transformación a P.A.: $(x+1), (xr+1), (xr^2-1)$
2. Desarrollo paso a paso:
- En toda P.A. de 3 términos $a, b, c$, se cumple que $2b = a + c$:
$$2(xr + 1) = (x + 1) + (xr^2 - 1)$$
$$2xr + 2 = x + xr^2$$ - De la suma de la P.G.: $x + xr^2 = 14 - xr$. Sustituimos esto en la ecuación anterior:
$$2xr + 2 = 14 - xr$$
$$3xr = 12 \implies xr = 4 \implies x = \frac{4}{r}$$ - Sustituimos en la suma original:
$$\frac{4}{r} + 4 + 4r = 14 \implies \frac{4}{r} + 4r - 10 = 0$$
$$4 + 4r^2 - 10r = 0 \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0$$ - Resolviendo la ecuación cuadrática: $r = \frac{5 \pm 3}{4}$.
- Caso 1: $r = 2 \implies x = 2$. P.G.: $2, 4, 8$.
- Caso 2: $r = 1/2 \implies x = 8$. P.G.: $8, 4, 2$.
Resultado final: Existen dos soluciones: $(2, 4, 8)$ y $(8, 4, 2)$.