Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_024
Guía de Ejercicios
Enunciado
Paso 1:
El segundo término de una progresión aritmética es $14$ y el tercero es $16$. Construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la diferencia de la progresión aritmética, además la suma de los tres primeros términos de la P.A. debe ser igual a la suma de los tres primeros términos de la P.G.
El segundo término de una progresión aritmética es $14$ y el tercero es $16$. Construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la diferencia de la progresión aritmética, además la suma de los tres primeros términos de la P.A. debe ser igual a la suma de los tres primeros términos de la P.G.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
Resultado final: La P.G. es $6, 12, 24$.
- P.A.: $a_2 = 14$, $a_3 = 16$
- P.G.: $r_{PG} = d_{PA}$
- Condición: $S_{3(PA)} = S_{3(PG)}$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Diferencia P.A.: $d = a_n - a_{n-1}$
- Suma P.A.: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
- Suma P.G.: $S_3 = b_1 + b_1 r + b_1 r^2$
3. Desarrollo paso a paso:
- Hallamos la diferencia $d$ de la P.A.:
$$d = a_3 - a_2 = 16 - 14 = 2$$ - Hallamos el primer término $a_1$ de la P.A.:
$$a_1 = a_2 - d = 14 - 2 = 12$$ - Calculamos la suma de los 3 primeros términos de la P.A.:
$$S_{3(PA)} = 12 + 14 + 16 = 42$$ - Para la P.G., la razón es $r = d = 2$. Usamos la condición de las sumas:
$$S_{3(PG)} = b_1(1 + r + r^2) = 42$$
$$b_1(1 + 2 + 2^2) = 42 \implies b_1(7) = 42$$
$$b_1 = \frac{42}{7} = 6$$ - Los términos de la P.G. son: $b_1 = 6$, $b_2 = 6 \cdot 2 = 12$, $b_3 = 12 \cdot 2 = 24$.
Resultado final: La P.G. es $6, 12, 24$.