Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_022
Zenit
Enunciado
Paso 1:
Los términos primero, segundo y cuarto de una progresión aritmética son iguales a los términos primero, segundo y tercero de una progresión geométrica. Hallar los 4 primeros términos de cada progresión, sabiendo que el primer término de ambas progresiones es 4.
Los términos primero, segundo y cuarto de una progresión aritmética son iguales a los términos primero, segundo y tercero de una progresión geométrica. Hallar los 4 primeros términos de cada progresión, sabiendo que el primer término de ambas progresiones es 4.
Solución Paso a Paso
1. Datos:
2. Desarrollo:
De $4+d = 4r$ tenemos $d = 4r - 4$.
Sustituimos en la segunda condición:
$$4 + 3(4r - 4) = 4r^2$$
$$4 + 12r - 12 = 4r^2 \implies 4r^2 - 12r + 8 = 0$$
Dividiendo entre 4:
$$r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r - 2)(r - 1) = 0$$
Caso 1: $r = 2$
$d = 4(2) - 4 = 4$.
P.A.: $4, 8, 12, 16$; P.G.: $4, 8, 16, 32$.
Caso 2: $r = 1$
$d = 4(1) - 4 = 0$.
P.A.: $4, 4, 4, 4$; P.G.: $4, 4, 4, 4$.
3. Resultado final:
- P.A.: $a_1, a_2, a_3, a_4 \dots \implies 4, 4+d, 4+2d, 4+3d$
- P.G.: $b_1, b_2, b_3 \dots \implies 4, 4r, 4r^2$
- Condiciones: $a_1 = b_1 = 4$; $a_2 = b_2 \implies 4+d = 4r$; $a_4 = b_3 \implies 4+3d = 4r^2$
2. Desarrollo:
De $4+d = 4r$ tenemos $d = 4r - 4$.
Sustituimos en la segunda condición:
$$4 + 3(4r - 4) = 4r^2$$
$$4 + 12r - 12 = 4r^2 \implies 4r^2 - 12r + 8 = 0$$
Dividiendo entre 4:
$$r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r - 2)(r - 1) = 0$$
Caso 1: $r = 2$
$d = 4(2) - 4 = 4$.
P.A.: $4, 8, 12, 16$; P.G.: $4, 8, 16, 32$.
Caso 2: $r = 1$
$d = 4(1) - 4 = 0$.
P.A.: $4, 4, 4, 4$; P.G.: $4, 4, 4, 4$.
3. Resultado final:
- 1ra Sol: P.A.: $4, 8, 12, 16$; P.G.: $4, 8, 16, 32$
- 2da Sol: P.A.: $4, 4, 4, 4$; P.G.: $4, 4, 4, 4$