Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_021
Zenit
Enunciado
Paso 1:
Tres números forman una progresión geométrica. Si se disminuye el tercero en 64, entonces los tres números que quedan están en progresión aritmética. Si a continuación se disminuye en 8 el segundo término de esta progresión aritmética se vuelve a obtener una progresión geométrica. Determinar los tres números iniciales.
Tres números forman una progresión geométrica. Si se disminuye el tercero en 64, entonces los tres números que quedan están en progresión aritmética. Si a continuación se disminuye en 8 el segundo término de esta progresión aritmética se vuelve a obtener una progresión geométrica. Determinar los tres números iniciales.
Solución Paso a Paso
1. Datos:
2. Desarrollo:
Expandiendo la ecuación de la 2da P.G.:
$$x^2r^2 - 16xr + 64 = x^2r^2 - 64x \implies 16xr - 64x = 64 \implies x(r - 4) = 4 \implies x = \frac{4}{r - 4}$$
Sustituyendo en la primera condición:
$$\frac{4}{r - 4}(r - 1)^2 = 64 \implies (r - 1)^2 = 16(r - 4)$$
$$r^2 - 18r + 65 = 0 \implies (r - 13)(r - 5) = 0$$
Caso 1: $r = 5$
$x = \frac{4}{5 - 4} = 4$. Números: $4, 20, 100$.
Caso 2: $r = 13$
$x = \frac{4}{13 - 4} = \frac{4}{9}$. Números: $\frac{4}{9}, \frac{52}{9}, \frac{676}{9}$.
3. Resultado final:
Las progresiones son $4, 20, 100$ y $\frac{4}{9}, \frac{52}{9}, \frac{676}{9}$.
- P.G.: $x, xr, xr^2$
- P.A.: $x, xr, xr^2 - 64 \implies 2xr = x + xr^2 - 64 \implies x(r - 1)^2 = 64$
- 2da P.G.: $x, xr - 8, xr^2 - 64 \implies (xr - 8)^2 = x(xr^2 - 64)$
2. Desarrollo:
Expandiendo la ecuación de la 2da P.G.:
$$x^2r^2 - 16xr + 64 = x^2r^2 - 64x \implies 16xr - 64x = 64 \implies x(r - 4) = 4 \implies x = \frac{4}{r - 4}$$
Sustituyendo en la primera condición:
$$\frac{4}{r - 4}(r - 1)^2 = 64 \implies (r - 1)^2 = 16(r - 4)$$
$$r^2 - 18r + 65 = 0 \implies (r - 13)(r - 5) = 0$$
Caso 1: $r = 5$
$x = \frac{4}{5 - 4} = 4$. Números: $4, 20, 100$.
Caso 2: $r = 13$
$x = \frac{4}{13 - 4} = \frac{4}{9}$. Números: $\frac{4}{9}, \frac{52}{9}, \frac{676}{9}$.
3. Resultado final:
Las progresiones son $4, 20, 100$ y $\frac{4}{9}, \frac{52}{9}, \frac{676}{9}$.