Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_020
Zenit
Enunciado
Paso 1:
Tres números están en progresión geométrica, si al último se le resta 32 se forma una progresión aritmética, pero si al segundo término de esta progresión aritmética se le resta 4, se forma una nueva progresión geométrica. ¿Cuál será la suma de los tres números enteros?
Tres números están en progresión geométrica, si al último se le resta 32 se forma una progresión aritmética, pero si al segundo término de esta progresión aritmética se le resta 4, se forma una nueva progresión geométrica. ¿Cuál será la suma de los tres números enteros?
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
De la Eq. 1: $x(r^2 - 2r + 1) = 32 \implies x(r - 1)^2 = 32$
De la Eq. 2:
$$x^2r^2 - 8xr + 16 = x^2r^2 - 32x$$
$$-8xr + 16 = -32x \implies 32x - 8xr + 16 = 0$$
Dividiendo entre 8: $4x - xr + 2 = 0 \implies x(4 - r) = -2 \implies x = \frac{2}{r - 4}$
Sustituimos $x$ en la Eq. 1:
$$\frac{2}{r - 4}(r - 1)^2 = 32 \implies (r - 1)^2 = 16(r - 4)$$
$$r^2 - 2r + 1 = 16r - 64 \implies r^2 - 18r + 65 = 0$$
Factorizando: $(r - 13)(r - 5) = 0$
Si $r = 5 \implies x = \frac{2}{5 - 4} = 2$. Los números son $2, 10, 50$.
Si $r = 13 \implies x = \frac{2}{13 - 4} = \frac{2}{9}$ (No son enteros).
Suma $= 2 + 10 + 50 = 62$.
3. Resultado final:
La suma de los tres números enteros es $62$.
- P.G. inicial: $x, xr, xr^2$
- P.A.: $x, xr, xr^2 - 32 \implies 2xr = x + xr^2 - 32$ (Eq. 1)
- Nueva P.G.: $x, xr - 4, xr^2 - 32 \implies (xr - 4)^2 = x(xr^2 - 32)$ (Eq. 2)
2. Desarrollo paso a paso:
De la Eq. 1: $x(r^2 - 2r + 1) = 32 \implies x(r - 1)^2 = 32$
De la Eq. 2:
$$x^2r^2 - 8xr + 16 = x^2r^2 - 32x$$
$$-8xr + 16 = -32x \implies 32x - 8xr + 16 = 0$$
Dividiendo entre 8: $4x - xr + 2 = 0 \implies x(4 - r) = -2 \implies x = \frac{2}{r - 4}$
Sustituimos $x$ en la Eq. 1:
$$\frac{2}{r - 4}(r - 1)^2 = 32 \implies (r - 1)^2 = 16(r - 4)$$
$$r^2 - 2r + 1 = 16r - 64 \implies r^2 - 18r + 65 = 0$$
Factorizando: $(r - 13)(r - 5) = 0$
Si $r = 5 \implies x = \frac{2}{5 - 4} = 2$. Los números son $2, 10, 50$.
Si $r = 13 \implies x = \frac{2}{13 - 4} = \frac{2}{9}$ (No son enteros).
Suma $= 2 + 10 + 50 = 62$.
3. Resultado final:
La suma de los tres números enteros es $62$.