Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_019
Zenit
Enunciado
Paso 1:
Los términos primero y tercero de una progresión aritmética y otra geométrica son, respectivamente, iguales, siendo los primeros términos de ambas iguales a 3. Escribirlas sabiendo que el segundo término de la progresión aritmética sobrepasa en 6 al segundo término de la progresión geométrica.
Los términos primero y tercero de una progresión aritmética y otra geométrica son, respectivamente, iguales, siendo los primeros términos de ambas iguales a 3. Escribirlas sabiendo que el segundo término de la progresión aritmética sobrepasa en 6 al segundo término de la progresión geométrica.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $d$ de la Ecuación 2 en la Ecuación 1:
$$3 + 2(3r + 3) = 3r^2$$
$$3 + 6r + 6 = 3r^2$$
$$3r^2 - 6r - 9 = 0$$
Dividiendo entre 3:
$$r^2 - 2r - 3 = 0 \implies (r - 3)(r + 1) = 0$$
Caso 1: $r = 3$
$$d = 3(3) + 3 = 12$$
P.A.: $3, 15, 27, \dots$
P.G.: $3, 9, 27, \dots$
Caso 2: $r = -1$
$$d = 3(-1) + 3 = 0$$
P.A.: $3, 3, 3, \dots$
P.G.: $3, -3, 3, \dots$
3. Resultado final:
- $a_1 = b_1 = 3$
- $a_3 = b_3 \implies 3 + 2d = 3r^2$ (Ecuación 1)
- $a_2 = b_2 + 6 \implies 3 + d = 3r + 6 \implies d = 3r + 3$ (Ecuación 2)
2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $d$ de la Ecuación 2 en la Ecuación 1:
$$3 + 2(3r + 3) = 3r^2$$
$$3 + 6r + 6 = 3r^2$$
$$3r^2 - 6r - 9 = 0$$
Dividiendo entre 3:
$$r^2 - 2r - 3 = 0 \implies (r - 3)(r + 1) = 0$$
Caso 1: $r = 3$
$$d = 3(3) + 3 = 12$$
P.A.: $3, 15, 27, \dots$
P.G.: $3, 9, 27, \dots$
Caso 2: $r = -1$
$$d = 3(-1) + 3 = 0$$
P.A.: $3, 3, 3, \dots$
P.G.: $3, -3, 3, \dots$
3. Resultado final:
- 1ra Sol: P.A.: $3, 15, 27$; P.G.: $3, 9, 27$
- 2da Sol: P.A.: $3, 3, 3$; P.G.: $3, -3, 3$