Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_018
Dispe I-2007
Enunciado
Paso 1:
Los primeros términos de una P.A. y una P.G. son iguales; si el segundo término de la P.A. excede en uno al segundo término de la P.G. y además el tercer término de la P.G. excede en dos al tercer término de la P.A. Halle los tres primeros términos de las progresiones.
Los primeros términos de una P.A. y una P.G. son iguales; si el segundo término de la P.A. excede en uno al segundo término de la P.G. y además el tercer término de la P.G. excede en dos al tercer término de la P.A. Halle los tres primeros términos de las progresiones.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
De la Ecuación 1, despejamos $d$:
$$d = xr - x + 1$$
Sustituimos $d$ en la Ecuación 2:
$$xr^2 = x + 2(xr - x + 1) + 2$$
$$xr^2 = x + 2xr - 2x + 2 + 2$$
$$xr^2 - 2xr + x - 4 = 0$$
Factorizando $x$:
$$x(r^2 - 2r + 1) = 4$$
$$x(r - 1)^2 = 4$$
3. Resultado final:
Las dos soluciones son:
- Sea la P.A.: $a_1, a_2, a_3$ con diferencia $d$.
- Sea la P.G.: $b_1, b_2, b_3$ con razón $r$.
- $a_1 = b_1 = x$
- $a_2 = b_2 + 1 \implies x + d = xr + 1$ (Ecuación 1)
- $b_3 = a_3 + 2 \implies xr^2 = (x + 2d) + 2$ (Ecuación 2)
2. Desarrollo paso a paso:
De la Ecuación 1, despejamos $d$:
$$d = xr - x + 1$$
Sustituimos $d$ en la Ecuación 2:
$$xr^2 = x + 2(xr - x + 1) + 2$$
$$xr^2 = x + 2xr - 2x + 2 + 2$$
$$xr^2 - 2xr + x - 4 = 0$$
Factorizando $x$:
$$x(r^2 - 2r + 1) = 4$$
$$x(r - 1)^2 = 4$$
- Si $(r - 1)^2 = 4 \implies r - 1 = 2 \implies r = 3$. Entonces $x(4) = 4 \implies x = 1$.
- Si $x = 1$ y $r = 3$: $d = 1(3) - 1 + 1 = 3$.
P.A.: $1, 4, 7$; P.G.: $1, 3, 9$. - Si $(r - 1)^2 = 4 \implies r - 1 = -2 \implies r = -1$. Entonces $x(4) = 4 \implies x = 1$.
- Si $x = 1$ y $r = -1$: $d = 1(-1) - 1 + 1 = -1$.
P.A.: $1, 0, -1$; P.G.: $1, -1, 1$.
3. Resultado final:
Las dos soluciones son:
- 1ra Sol: P.A.: $1, 4, 7, \dots$; P.G.: $1, 3, 9, \dots$
- 2da Sol: P.A.: $1, 0, -1, \dots$; P.G.: $1, -1, 1, \dots$