1. Datos del problema:

• Términos en P.A.: $t_1 = \frac{1}{b-a}$, $t_2 = \frac{1}{2b}$, $t_3 = \frac{1}{b-c}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Condición de P.A.: $2 \cdot t_2 = t_1 + t_3$


• Condición de P.G.: $b^2 = ac$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Aplicar la propiedad de la P.A.

$$2 \left( \frac{1}{2b} \right) = \frac{1}{b - a} + \frac{1}{b - c}$$
$$\frac{1}{b} = \frac{(b - c) + (b - a)}{(b - a)(b - c)}$$

• Paso 2: Operar algebraicamente.

$$\frac{1}{b} = \frac{2b - a - c}{b^2 - bc - ab + ac}$$
$$b^2 - bc - ab + ac = b(2b - a - c)$$
$$b^2 - bc - ab + ac = 2b^2 - ab - bc$$

• Paso 3: Simplificar.

Eliminamos los términos $-ab$ y $-bc$ en ambos lados:
$$b^2 + ac = 2b^2$$
$$ac = b^2$$

4. Resultado final:
Como $b^2 = ac$, queda demostrado que $a, b, c$ forman una Progresión Geométrica.