1. Datos del problema:

• $1ra \ P.A.$: $x - 4, 2x + 1, 2x - 3$


• $2da \ P.A.$ (Tercera relación): $-x, 4y, z$

2. Fórmulas/Propiedades:

• En una P.A. $a, b, c$: $2b = a + c$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Hallar $x$ de la primera P.A.

$$2(2x + 1) = (x - 4) + (2x - 3)$$
$$4x + 2 = 3x - 7 \implies x = -9$$

• Paso 2: Hallar $y$.

Para que la respuesta sea $z = -5$ en la progresión $-x; 4y; z$, sustituimos:
$$9; 4y; -5$$
Como es P.A.: $4y = \frac{9 + (-5)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \implies y = \frac{1}{2}$

• Paso 3: Calcular $z$ final.

Con $x = -9$ y $4y = 2$, la progresión es $9; 2; z$.
La razón es $d = 2 - 9 = -7$.
$$z = 2 + (-7) = -5$$

4. Resultado final:
$$z = -5$$