1. Datos del problema:

• $1ra \ P.G.$ (Progresión Geométrica): $x - 4, x, x + 2$


• $2da \ P.G.$: $y + 1, 3y, 9y - 6$


• $P.A.$ (Progresión Aritmética): $x, y, z$

2. Fórmulas/Propiedades:

• En una P.G. de tres términos $a, b, c$: $b^2 = a \cdot c$


• En una P.A. de tres términos $a, b, c$: $b - a = c - b$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Hallar $x$ de la primera P.G.

$$x^2 = (x - 4)(x + 2)$$
$$x^2 = x^2 - 2x - 8$$
$$2x = -8 \implies x = -4$$

• Paso 2: Hallar $y$ de la segunda P.G.

$$(3y)^2 = (y + 1)(9y - 6)$$
$$9y^2 = 9y^2 - 6y + 9y - 6$$
$$0 = 3y - 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2$$

• Paso 3: Hallar $z$ de la P.A.

Sustituimos $x$ e $y$ en la P.A.: $-4; 2; z$
$$2 - (-4) = z - 2$$
$$6 = z - 2 \implies z = 8$$

4. Resultado final:
$$z = 8$$