Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_007
Práctica de Progresiones
Enunciado
Se da una progresión geométrica de razón $(r \neq 0)$ y con el primer termino distinto de cero. También se da una progresión aritmética con el primer término igual a cero. Se suman los términos correspondientes de estas dos progresiones obteniéndose una tercera progresión donde los tres primeros términos son: 1, 1, 2. Calcule la suma de los 10 primeros términos de esta nueva progresión.
Resp. 978
Resp. 978
Solución Paso a Paso
1. Definición de sucesiones:
P.G.: $g, gr, gr^2, \dots$
P.A.: $0, d, 2d, \dots$
Nueva Sucesión ($S_n$): $g, gr+d, gr^2+2d, \dots$
2. Desarrollo:
Dados $S_1=1, S_2=1, S_3=2$:
1) $g = 1$
2) $1(r) + d = 1 \implies d = 1 - r$
3) $1(r^2) + 2d = 2$
Sustituyendo $d$ en la tercera:
$$r^2 + 2(1-r) = 2 \implies r^2 - 2r = 0 \implies r(r-2) = 0$$
Como $r \neq 0$, entonces $r = 2$.
Luego, $d = 1 - 2 = -1$.
3. Suma de los 10 términos:
$\sum_{n=1}^{10} S_n = \sum_{n=1}^{10} (g \cdot r^{n-1} + (n-1)d) = \sum_{n=1}^{10} 2^{n-1} + \sum_{n=1}^{10} -(n-1)$
Sumas parciales:
$\text{Suma P.G.} = \frac{1(2^{10}-1)}{2-1} = 1023$
$\text{Suma P.A.} = \frac{10}{2}(0 + (-9)) = -45$
4. Resultado final:
Suma total $= 1023 - 45 = 978$
P.G.: $g, gr, gr^2, \dots$
P.A.: $0, d, 2d, \dots$
Nueva Sucesión ($S_n$): $g, gr+d, gr^2+2d, \dots$
2. Desarrollo:
Dados $S_1=1, S_2=1, S_3=2$:
1) $g = 1$
2) $1(r) + d = 1 \implies d = 1 - r$
3) $1(r^2) + 2d = 2$
Sustituyendo $d$ en la tercera:
$$r^2 + 2(1-r) = 2 \implies r^2 - 2r = 0 \implies r(r-2) = 0$$
Como $r \neq 0$, entonces $r = 2$.
Luego, $d = 1 - 2 = -1$.
3. Suma de los 10 términos:
$\sum_{n=1}^{10} S_n = \sum_{n=1}^{10} (g \cdot r^{n-1} + (n-1)d) = \sum_{n=1}^{10} 2^{n-1} + \sum_{n=1}^{10} -(n-1)$
Sumas parciales:
$\text{Suma P.G.} = \frac{1(2^{10}-1)}{2-1} = 1023$
$\text{Suma P.A.} = \frac{10}{2}(0 + (-9)) = -45$
4. Resultado final:
Suma total $= 1023 - 45 = 978$