Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_004
Examen II-2002
Enunciado
Los términos primero, cuarto y decimotercero de una P.A. son iguales a los términos primero, segundo y tercero de una P.G. Halle los tres primeros términos de cada progresión, sabiendo que el primer término de ambas progresiones es 6.
Resp. P.A.: 6, 10, 14; P.G.: 6, 18, 54
Resp. P.A.: 6, 10, 14; P.G.: 6, 18, 54
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos los términos de la P.A. en función de $d$:
$$a_1 = 6$$
$$a_4 = 6 + 3d$$
$$a_{13} = 6 + 12d$$
Expresamos los términos de la P.G. en función de $q$:
$$g_1 = 6$$
$$g_2 = 6q$$
$$g_3 = 6q^2$$
Igualamos según las condiciones:
1) $6 + 3d = 6q \implies d = 2(q-1)$
2) $6 + 12d = 6q^2 \implies 1 + 2d = q^2$
Sustituimos $d$ en la segunda ecuación:
$$1 + 2[2(q-1)] = q^2$$
$$1 + 4q - 4 = q^2 \implies q^2 - 4q + 3 = 0$$
Factorizando: $(q-3)(q-1) = 0$.
Si $q=1$, la progresión es constante. Tomamos $q=3$ para una progresión creciente:
$$d = 2(3-1) = 4$$
4. Resultado final:
- P.A.: $a_1, a_4, a_{13}$
- P.G.: $g_1, g_2, g_3$
- Relación: $a_1 = g_1$, $a_4 = g_2$, $a_{13} = g_3$
- Dato adicional: $a_1 = g_1 = 6$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Término general P.A.: $a_n = a_1 + (n-1)d$
- Término general P.G.: $g_n = g_1 \cdot q^{n-1}$
3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos los términos de la P.A. en función de $d$:
$$a_1 = 6$$
$$a_4 = 6 + 3d$$
$$a_{13} = 6 + 12d$$
Expresamos los términos de la P.G. en función de $q$:
$$g_1 = 6$$
$$g_2 = 6q$$
$$g_3 = 6q^2$$
Igualamos según las condiciones:
1) $6 + 3d = 6q \implies d = 2(q-1)$
2) $6 + 12d = 6q^2 \implies 1 + 2d = q^2$
Sustituimos $d$ en la segunda ecuación:
$$1 + 2[2(q-1)] = q^2$$
$$1 + 4q - 4 = q^2 \implies q^2 - 4q + 3 = 0$$
Factorizando: $(q-3)(q-1) = 0$.
Si $q=1$, la progresión es constante. Tomamos $q=3$ para una progresión creciente:
$$d = 2(3-1) = 4$$
4. Resultado final:
- P.A. ($d=4$): $6, 10, 14$
- P.G. ($q=3$): $6, 18, 54$