Ii
MATU • Algebra
MATU_PRN_004
Ejemplo de productos notables
Enunciado
Paso 1:
Si $2^{4x} + 2^{-4x} = 119$ y $x > 0$, halle el valor de $2^x - 2^{-x} + 5$.
Si $2^{4x} + 2^{-4x} = 119$ y $x > 0$, halle el valor de $2^x - 2^{-x} + 5$.
Solución Paso a Paso
Paso 1. Dato inicial:
$$ 2^{4x} + 2^{-4x} = 119 $$
Paso 2. Sumamos 2 a ambos lados:
$$ 2^{4x} + 2^{-4x} + 2 = 121 $$
Paso 3. Reconocemos una identidad cuadrática:
$$ (2^{2x} + 2^{-2x})^2 = 121 = 11^2 $$
$$ \Rightarrow 2^{2x} + 2^{-2x} = 11 $$
Paso 4. Restamos 2 a ambos lados:
$$ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 = 9 $$
$$ (2^x - 2^{-x})^2 = 9 $$
Paso 5. Extraemos raíz cuadrada positiva (pues $x > 0$):
$$ 2^x - 2^{-x} = 3 $$
Paso 6. Sustituimos en la expresión final:
$$ 2^x - 2^{-x} + 5 = 3 + 5 = 8 $$
Respuesta:
$$ 2^x - 2^{-x} + 5 = 8 $$
$$ 2^{4x} + 2^{-4x} = 119 $$
Paso 2. Sumamos 2 a ambos lados:
$$ 2^{4x} + 2^{-4x} + 2 = 121 $$
Paso 3. Reconocemos una identidad cuadrática:
$$ (2^{2x} + 2^{-2x})^2 = 121 = 11^2 $$
$$ \Rightarrow 2^{2x} + 2^{-2x} = 11 $$
Paso 4. Restamos 2 a ambos lados:
$$ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 = 9 $$
$$ (2^x - 2^{-x})^2 = 9 $$
Paso 5. Extraemos raíz cuadrada positiva (pues $x > 0$):
$$ 2^x - 2^{-x} = 3 $$
Paso 6. Sustituimos en la expresión final:
$$ 2^x - 2^{-x} + 5 = 3 + 5 = 8 $$
Respuesta:
$$ 2^x - 2^{-x} + 5 = 8 $$