Ii
MATU • Algebra
MATU_POL_017
Examen de Admisión
Enunciado
17. Hallar el término cuadrático de un polinomio $P(x)$ de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coeficientes son números enteros consecutivos, se sabe además que si se divide dicho polinomio entre $(x - 1)$ el resto es 35.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
$$P(x) = ax^4 + (a+1)x^3 + (a+2)x^2 + (a+3)x + (a+4)$$
$$P(1) = a(1)^4 + (a+1)(1)^3 + (a+2)(1)^2 + (a+3)(1) + (a+4) = 35$$
$$a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 35$$
$$5a + 10 = 35$$
$$5a = 25 \implies a = 5$$
$$7x^2$$
4. Resultado final:
El coeficiente del término cuadrático es 7. Respuesta correcta: c.
- Grado de $P(x) = 4$
- Coeficientes: Enteros consecutivos.
- Resto de $P(x) \div (x-1) = 35$.
2. Fórmulas/Propiedades:
- Forma general de un polinomio de 4to grado: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
- Teorema del Resto: $R = P(1)$.
3. Desarrollo paso a paso:
- Definimos los coeficientes consecutivos como: $a, a+1, a+2, a+3, a+4$.
- Construimos el polinomio:
$$P(x) = ax^4 + (a+1)x^3 + (a+2)x^2 + (a+3)x + (a+4)$$
- Aplicamos el Teorema del Resto ($x=1$):
$$P(1) = a(1)^4 + (a+1)(1)^3 + (a+2)(1)^2 + (a+3)(1) + (a+4) = 35$$
$$a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 35$$
$$5a + 10 = 35$$
$$5a = 25 \implies a = 5$$
- Los coeficientes son: $5, 6, 7, 8, 9$.
- El término cuadrático es $(a+2)x^2$, es decir:
$$7x^2$$
4. Resultado final:
El coeficiente del término cuadrático es 7. Respuesta correcta: c.