1. Datos del problema:

• División 1: $P(y) \div (y-3) \implies$ Cociente: $Q(y)$, Resto: $-2$


• División 2: $Q(y) \div (y+2) \implies$ Resto: $2$


• Objetivo: Hallar el término independiente del resto de $P(y) \div (y-3)(y+2)$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Identidad fundamental de la división: $D = d \cdot q + R$


• Teorema del resto: El resto de dividir $Q(y)$ por $(y+2)$ es $Q(-2)$.

3. Desarrollo paso a paso:

• Expresamos la primera división:

$$P(y) = (y-3)Q(y) - 2 \quad \dots (I)$$

• Expresamos la segunda división para el cociente $Q(y)$, donde llamaremos $q(y)$ al nuevo cociente:

$$Q(y) = (y+2)q(y) + 2 \quad \dots (II)$$

• Sustituimos $(II)$ en $(I)$:

$$P(y) = (y-3) [ (y+2)q(y) + 2 ] - 2$$

• Distribuimos el término $(y-3)$:

$$P(y) = (y-3)(y+2)q(y) + 2(y-3) - 2$$
$$P(y) = (y-3)(y+2)q(y) + 2y - 6 - 2$$
$$P(y) = (y-3)(y+2)q(y) + (2y - 8)$$

• El residuo de dividir $P(y)$ entre $(y-3)(y+2)$ es $R(y) = 2y - 8$.


• El término independiente de $R(y)$ se obtiene evaluando en $y=0$:

$$T.I. = 2(0) - 8 = -8$$

4. Resultado final:
El término independiente es -8. Respuesta correcta: a.