Ii
MATU • Algebra
MATU_OPE_068
Guía de Estudios
Enunciado
Hallar el grado absoluto de la expresión:
$$M = \sqrt{\frac{x^{n+m} y^{n-m+2} z^{2n}}{x^{n-m} y^{m+n+2} z^{2m}}}$$
siendo los valores de $n$ y $m$ definidos por las siguientes torres de exponentes:
$$n = 16^{4^{-2^{-1}}}; \quad m = 32^{125^{-3^{-1^0}}}$$
$$ \begin{array}{lllll} \text{a) } 5 & \text{b) } 4 & \text{c) } 3 & \text{d) } 2 & \text{e) } 1 \end{array} $$
$$M = \sqrt{\frac{x^{n+m} y^{n-m+2} z^{2n}}{x^{n-m} y^{m+n+2} z^{2m}}}$$
siendo los valores de $n$ y $m$ definidos por las siguientes torres de exponentes:
$$n = 16^{4^{-2^{-1}}}; \quad m = 32^{125^{-3^{-1^0}}}$$
$$ \begin{array}{lllll} \text{a) } 5 & \text{b) } 4 & \text{c) } 3 & \text{d) } 2 & \text{e) } 1 \end{array} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Para determinar el Grado Absoluto ($G.A.$) de la expresión $M$, es necesario simplificar los valores numéricos de las constantes $n$ y $m$ resolviendo las potencias de arriba hacia abajo, y luego reducir la expresión algebraica principal.
2. Fórmulas y Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
Paso A: Simplificación de $n$
Para resolver una torre de exponentes, se opera desde el nivel superior:
1. Calculamos el primer nivel: $2^{-1} = \frac{1}{2}$
2. Aplicamos al siguiente nivel: $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
3. Obtenemos el valor final de $n$:
$$ n = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 $$
Paso B: Simplificación de $m$
Operamos de la misma forma, recordando que cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia cero es 1:
1. Nivel superior: $1^0 = 1$
2. Siguiente nivel: $3^{-1} = \frac{1}{3}$
3. Siguiente nivel: $125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$
4. Valor final de $m$:
$$ m = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2 $$
Paso C: Simplificación de la expresión $M$
Agrupamos las bases iguales dentro de la raíz restando sus exponentes:
$$ \begin{aligned} M &= \sqrt{x^{(n+m)-(n-m)} \cdot y^{(n-m+2)-(m+n+2)} \cdot z^{2n-2m}} \\ M &= \sqrt{x^{n+m-n+m} \cdot y^{n-m+2-m-n-2} \cdot z^{2(n-m)}} \\ M &= \sqrt{x^{2m} \cdot y^{-2m} \cdot z^{2(n-m)}} \end{aligned} $$
Aplicamos el exponente fraccionario (dividiendo cada exponente entre el índice de la raíz 2):
$$ \begin{aligned} M &= x^{\frac{2m}{2}} \cdot y^{\frac{-2m}{2}} \cdot z^{\frac{2(n-m)}{2}} \\ M &= x^{m} \cdot y^{-m} \cdot z^{n-m} \end{aligned} $$
Paso D: Cálculo del Grado Absoluto (G.A.)
Sumamos los exponentes de las variables resultantes:
$$ \begin{aligned} G.A.(M) &= (m) + (-m) + (n - m) \\ G.A.(M) &= n - m \end{aligned} $$
Sustituimos los valores hallados ($n=4, m=2$):
$$ \begin{aligned} G.A.(M) &= 4 - 2 \\ G.A.(M) &= 2 \end{aligned} $$
4. Resultado final:
$$ \boxed{G.A.(M) = 2} $$
La respuesta correcta es el inciso d).
Para determinar el Grado Absoluto ($G.A.$) de la expresión $M$, es necesario simplificar los valores numéricos de las constantes $n$ y $m$ resolviendo las potencias de arriba hacia abajo, y luego reducir la expresión algebraica principal.
2. Fórmulas y Propiedades:
- Potencia con exponente negativo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Exponente fraccionario: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
- División de potencias de igual base: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Raíz de una potencia: $\sqrt[k]{a^p} = a^{\frac{p}{k}}$
- Grado absoluto de un monomio: Suma de los exponentes de las variables.
3. Desarrollo paso a paso:
Paso A: Simplificación de $n$
Para resolver una torre de exponentes, se opera desde el nivel superior:
1. Calculamos el primer nivel: $2^{-1} = \frac{1}{2}$
2. Aplicamos al siguiente nivel: $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
3. Obtenemos el valor final de $n$:
$$ n = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 $$
Paso B: Simplificación de $m$
Operamos de la misma forma, recordando que cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia cero es 1:
1. Nivel superior: $1^0 = 1$
2. Siguiente nivel: $3^{-1} = \frac{1}{3}$
3. Siguiente nivel: $125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$
4. Valor final de $m$:
$$ m = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2 $$
Paso C: Simplificación de la expresión $M$
Agrupamos las bases iguales dentro de la raíz restando sus exponentes:
$$ \begin{aligned} M &= \sqrt{x^{(n+m)-(n-m)} \cdot y^{(n-m+2)-(m+n+2)} \cdot z^{2n-2m}} \\ M &= \sqrt{x^{n+m-n+m} \cdot y^{n-m+2-m-n-2} \cdot z^{2(n-m)}} \\ M &= \sqrt{x^{2m} \cdot y^{-2m} \cdot z^{2(n-m)}} \end{aligned} $$
Aplicamos el exponente fraccionario (dividiendo cada exponente entre el índice de la raíz 2):
$$ \begin{aligned} M &= x^{\frac{2m}{2}} \cdot y^{\frac{-2m}{2}} \cdot z^{\frac{2(n-m)}{2}} \\ M &= x^{m} \cdot y^{-m} \cdot z^{n-m} \end{aligned} $$
Paso D: Cálculo del Grado Absoluto (G.A.)
Sumamos los exponentes de las variables resultantes:
$$ \begin{aligned} G.A.(M) &= (m) + (-m) + (n - m) \\ G.A.(M) &= n - m \end{aligned} $$
Sustituimos los valores hallados ($n=4, m=2$):
$$ \begin{aligned} G.A.(M) &= 4 - 2 \\ G.A.(M) &= 2 \end{aligned} $$
4. Resultado final:
$$ \boxed{G.A.(M) = 2} $$
La respuesta correcta es el inciso d).