1. Datos del problema:
Se tienen dos polinomios de tercer grado, $P(x)$ y $Q(x)$, los cuales comparten al menos un factor común de primer o segundo grado. El objetivo es determinar el valor del parámetro constante $a$.

2. Propiedades y estrategia:

• Propiedad de la diferencia: Si dos funciones $P(x)$ y $Q(x)$ comparten un factor común, dicho factor también debe dividir a cualquier combinación lineal de ellas, en particular a su resta $R(x) = Q(x) - P(x)$.
• Teorema del Resto: Si $(x - r)$ es un factor de $P(x)$, entonces al evaluar el polinomio en $r$ el resultado debe ser cero ($P(r) = 0$).

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Hallar la diferencia de los polinomios

Restamos $Q(x) - P(x)$ para simplificar los términos de mayor grado y encontrar el factor común potencial:
$$ R(x) = [x^3 - (a + 1)x^2 + 23x - a - 7] - [x^3 - ax^2 + 19x - a - 4] $$
Distribuyendo los signos y simplificando:
$$ R(x) = x^3 - ax^2 - x^2 + 23x - a - 7 - x^3 + ax^2 - 19x + a + 4 $$
$$ R(x) = -x^2 + 4x - 3 $$

• Paso 2: Factorizar la diferencia

El factor común debe estar contenido en $R(x)$. Factorizamos este trinomio de segundo grado:
$$ R(x) = -(x^2 - 4x + 3) $$
Buscamos dos números que multiplicados den $3$ y sumados den $-4$:
$$ R(x) = -(x - 3)(x - 1) $$

• Paso 3: Evaluación para encontrar el valor de "a"

Si $(x - 1)$ es el factor común, por el teorema del resto, $P(1)$ debe ser igual a $0$:
$$ P(1) = (1)^3 - a(1)^2 + 19(1) - a - 4 = 0 $$
$$ 1 - a + 19 - a - 4 = 0 $$
$$ 16 - 2a = 0 \implies 2a = 16 \implies a = 8 $$

$$ P(3) = (3)^3 - a(3)^2 + 19(3) - a - 4 = 0 $$
$$ 27 - 9a + 57 - a - 4 = 0 $$
$$ 80 - 10a = 0 \implies 10a = 80 \implies a = 8 $$

Como en ambos casos el valor de $a$ es consistente, concluimos que este es el valor buscado.

4. Resultado final:
El valor del parámetro para que exista un factor común es $8$.

$$ \boxed{a = 8} $$

La respuesta correcta es la opción (c).