1. Definición de variables y análisis inicial Para simplificar la expresión, denotaremos los logaritmos como variables para facilitar el manejo algebraico. Sea:
$$ u = \log_b a \quad \text{y} \quad v = \log_a b $$
Por la propiedad del cambio de base, sabemos que $v = \frac{1}{u}$, lo que implica que:
$$ u \cdot v = 1 $$

2. Simplificación del radical interno Observemos el término dentro de la raíz más interna:
$$ \log_b^4 a + \log_a^4 b + 2 = u^4 + v^4 + 2 $$
Dado que $(uv)^2 = 1^2 = 1$, podemos escribir el $2$ como $2u^2v^2$:
$$ u^4 + v^4 + 2u^2v^2 = (u^2 + v^2)^2 $$
Entonces, al aplicar la raíz cuadrada:
$$ \sqrt{\log_b^4 a + \log_a^4 b + 2} = \sqrt{(u^2 + v^2)^2} = u^2 + v^2 $$

3. Simplificación del radical externo Sustituimos el resultado anterior en la raíz externa:
$$ \sqrt{(u^2 + v^2) + 2} $$
Nuevamente, dado que $uv = 1$, podemos escribir el $2$ como $2uv$:
$$ \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv} = \sqrt{(u + v)^2} $$
$$ \sqrt{(u + v)^2} = u + v $$

4. Resultado final Sustituimos todo en la expresión original:
$$ (u + v) - \log_b a - \log_a b $$
$$ (u + v) - u - v = 0 $$

$$ \boxed{0} $$