1. Datos:
Partimos de la condición dada: $a^2 + b^2 = 7ab$.

2. Transformación mediante productos notables:
Buscamos formar un trinomio cuadrado perfecto. Sumamos $2ab$ a ambos lados de la igualdad:
$$ a^2 + 2ab + b^2 = 7ab + 2ab $$
$$ (a + b)^2 = 9ab $$

Dividimos ambos miembros entre 9:
$$ \frac{(a+b)^2}{9} = ab $$

Reescribimos el miembro izquierdo como un cuadrado total:
$$ \left( \frac{a+b}{3} \right)^2 = ab $$

3. Aplicación de logaritmos:
Aplicamos logaritmo (base 10) a ambos lados de la ecuación:
$$ \log \left( \frac{a+b}{3} \right)^2 = \log (ab) $$

Aplicamos la propiedad del exponente en el lado izquierdo y la propiedad del producto en el lado derecho:
$$ 2 \log \left( \frac{a+b}{3} \right) = \log a + \log b $$

Finalmente, despejamos el logaritmo dividiendo por 2:
$$ \log \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2} (\log a + \log b) $$

4. Resultado final:
La condición se cumple satisfactoriamente.
$$ \boxed{\log \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2} (\log a + \log b)} $$