1. Análisis de los términos:
Recordemos que un exponente negativo $-1$ indica el recíproco de la base. Por tanto, para cualquier $i$:
$$ (\log_{a_i} x)^{-1} = \frac{1}{\log_{a_i} x} $$

Usando la propiedad de cambio de base ($\frac{1}{\log_b y} = \log_y b$), tenemos:
$$ (\log_{a_i} x)^{-1} = \log_x a_i $$

2. Desarrollo del denominador:
Sustituimos cada término en el denominador del miembro izquierdo ($D$):
$$ D = \log_x a_1 + \log_x a_2 + \dots + \log_x a_n $$

Utilizamos la propiedad de la suma de logaritmos con la misma base ($\log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N)$):
$$ D = \log_x (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n) $$

3. Sustitución en la expresión original:
Ahora colocamos el denominador resultante en la fracción completa:
$$ MI = \frac{1}{\log_x (a_1 a_2 \dots a_n)} $$

Aplicamos nuevamente la propiedad de cambio de base para subir el logaritmo al numerador:
$$ MI = \log_{a_1 a_2 \dots a_n} x $$

4. Resultado final:
Se cumple la igualdad propuesta:
$$ \boxed{\log_{a_1 a_2 \dots a_n} x = \log_{a_1 a_2 \dots a_n} x} $$