Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_082
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Demostrar la siguiente igualdad:
$$\frac{1}{\log_{a} n} + \frac{1}{\log_{a^2} n} + \frac{1}{\log_{a^3} n} + \frac{1}{\log_{a^4} n} + \frac{1}{\log_{a^5} n} = 15 \log_{n} a$$
$$\frac{1}{\log_{a} n} + \frac{1}{\log_{a^2} n} + \frac{1}{\log_{a^3} n} + \frac{1}{\log_{a^4} n} + \frac{1}{\log_{a^5} n} = 15 \log_{n} a$$
Solución Paso a Paso
1. Datos y Propiedades:
Para resolver este problema, utilizaremos las siguientes propiedades de los logaritmos:
$$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Propiedad de cambio de base} & \frac{1}{\log_x y} = \log_y x \\ \hline \text{Propiedad del exponente en el argumento} & \log_b (x^k) = k \cdot \log_b x \\ \hline \end{array} $$
2. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la propiedad de cambio de base a cada término del miembro izquierdo ($MI$) para que todos los logaritmos tengan la misma base $n$:
$$ MI = \log_n a + \log_n (a^2) + \log_n (a^3) + \log_n (a^4) + \log_n (a^5) $$
Ahora, aplicamos la propiedad del exponente ($ \log_b x^k = k \log_b x $) en cada término:
$$ \begin{aligned} MI &= 1\log_n a + 2\log_n a + 3\log_n a + 4\log_n a + 5\log_n a \\ MI &= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \log_n a \end{aligned} $$
Sumamos los coeficientes numéricos:
$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $$
Por lo tanto:
$$ MI = 15 \log_n a $$
3. Conclusión:
Como el miembro izquierdo es igual al miembro derecho de la ecuación original, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{15 \log_n a = 15 \log_n a} $$
Para resolver este problema, utilizaremos las siguientes propiedades de los logaritmos:
$$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Propiedad de cambio de base} & \frac{1}{\log_x y} = \log_y x \\ \hline \text{Propiedad del exponente en el argumento} & \log_b (x^k) = k \cdot \log_b x \\ \hline \end{array} $$
2. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la propiedad de cambio de base a cada término del miembro izquierdo ($MI$) para que todos los logaritmos tengan la misma base $n$:
$$ MI = \log_n a + \log_n (a^2) + \log_n (a^3) + \log_n (a^4) + \log_n (a^5) $$
Ahora, aplicamos la propiedad del exponente ($ \log_b x^k = k \log_b x $) en cada término:
$$ \begin{aligned} MI &= 1\log_n a + 2\log_n a + 3\log_n a + 4\log_n a + 5\log_n a \\ MI &= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \log_n a \end{aligned} $$
Sumamos los coeficientes numéricos:
$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $$
Por lo tanto:
$$ MI = 15 \log_n a $$
3. Conclusión:
Como el miembro izquierdo es igual al miembro derecho de la ecuación original, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{15 \log_n a = 15 \log_n a} $$