1. Transformación del primer radicando:
Sea $x = \log_a b$. Entonces $\log_b a = \frac{1}{x}$. El radicando es:
$$ x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 1 + 2x}{x} = \frac{(x+1)^2}{x} $$
Aplicando la raíz:
$$ \sqrt{\frac{(x+1)^2}{x}} = \frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{\log_a b + 1}{\sqrt{\log_a b}} $$

2. Transformación del término central:
Usamos la propiedad de cambio de base para $\log_{ab} a$:
$$ \log_{ab} a = \frac{1}{\log_a (ab)} = \frac{1}{\log_a a + \log_a b} = \frac{1}{1 + \log_a b} $$

3. Transformación del último término:
$$ \sqrt{\log_a^3 b} = \sqrt{(\log_a b)^2 \cdot \log_a b} = \log_a b \cdot \sqrt{\log_a b} $$

4. Multiplicación de todas las partes:
Unimos los resultados de los pasos 1, 2 y 3:
$$ \left( \frac{\log_a b + 1}{\sqrt{\log_a b}} \right) \cdot \left( \frac{1}{1 + \log_a b} \right) \cdot \left( \log_a b \cdot \sqrt{\log_a b} \right) $$

5. Simplificación por cancelación:
Observamos que los términos $(\log_a b + 1)$ se cancelan, al igual que los términos $\sqrt{\log_a b}$:
$$ \frac{\cancel{\log_a b + 1}}{\cancel{\sqrt{\log_a b}}} \cdot \frac{1}{\cancel{1 + \log_a b}} \cdot \log_a b \cdot \cancel{\sqrt{\log_a b}} $$
Quedando únicamente:
$$ \log_a b $$

Resultado final:
$$ \boxed{\log_a b} $$