1. Definición de variables auxiliares
Para facilitar los cálculos, utilizaremos un cambio de variable. Sea:
$$ x = \log_a b \implies \log_b a = \frac{1}{x} $$

2. Transformación de los términos
Analicemos cada paréntesis de la expresión:

• Primer término:

$$ \log_a b + \log_b a + 2 = x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 1 + 2x}{x} = \frac{(x+1)^2}{x} $$

• Segundo término: Utilizando la propiedad de cambio de base $\log_n m = \frac{\log_k m}{\log_k n}$:

$$ \log_{ab} b = \frac{\log_a b}{\log_a (ab)} = \frac{\log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{x}{1 + x} $$
Entonces:
$$ \log_a b - \log_{ab} b = x - \frac{x}{1 + x} = \frac{x(1 + x) - x}{1 + x} = \frac{x + x^2 - x}{1 + x} = \frac{x^2}{1 + x} $$

3. Sustitución en la expresión original
Sustituimos los resultados obtenidos en la expresión completa, incluyendo el factor $\log_b a = \frac{1}{x}$:
$$ E = \left[ \frac{(x+1)^2}{x} \right] \cdot \left[ \frac{x^2}{1+x} \right] \cdot \left[ \frac{1}{x} \right] - 1 $$

4. Simplificación algebraica
Multiplicamos las fracciones dentro de los corchetes:
$$ E = \frac{(x+1)^2 \cdot x^2}{x \cdot (1+x) \cdot x} - 1 $$
$$ E = \frac{(x+1)^2 \cdot x^2}{x^2 \cdot (x+1)} - 1 $$

Cancelamos los términos comunes ($x^2$ y un factor de $x+1$):
$$ E = (x+1) - 1 $$
$$ E = x $$

5. Resultado final
Volviendo a la variable original $x = \log_a b$:
$$ \boxed{\log_a b} $$