Para esta demostración, realizaremos un cambio de base general a la base $b$ en el término izquierdo ($LHS$).

1. Cambio de base:
Usamos la fórmula $\log_x y = \frac{\log_b y}{\log_b x}$:
$$ \log_{bn} (an) = \frac{\log_b (an)}{\log_b (bn)} $$

2. Expansión de términos:
Aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto tanto en el numerador como en el denominador:
$$ Numerador: \log_b (an) = \log_b a + \log_b n $$
$$ Denominador: \log_b (bn) = \log_b b + \log_b n $$

3. Simplificación de la base:
Recordamos que $\log_b b = 1$. Sustituyendo en el denominador:
$$ \log_{bn} an = \frac{\log_b a + \log_b n}{1 + \log_b n} $$

Resultado:
La expresión resultante coincide con el lado derecho de la identidad.
$$ \boxed{ \log_{bn} an = \frac{\log_b a + \log_b n}{1 + \log_b n} } $$