Analizaremos el cociente de logaritmos utilizando la regla de la cadena o cambio de base.

1. Reorganización del cociente:
Podemos escribir el cociente como un producto:
$$ \frac{\log_a n}{\log_{ab} n} = \log_a n \cdot \frac{1}{\log_{ab} n} $$
Aplicando la propiedad de inversión: $\frac{1}{\log_{ab} n} = \log_n (ab)$.
$$ \log_a n \cdot \log_n (ab) $$

2. Propiedad de la cadena:
Sabemos que $\log_x y \cdot \log_y z = \log_x z$. Aplicando esto:
$$ \log_a n \cdot \log_n (ab) = \log_a (ab) $$

3. Descomposición final:
Separamos el logaritmo del producto:
$$ \log_a (ab) = \log_a a + \log_a b $$
Como $\log_a a = 1$:
$$ 1 + \log_a b $$

Resultado:
$$ \boxed{ \frac{\log_a n}{\log_{ab} n} = 1 + \log_a b } $$