Iniciaremos transformando el lado izquierdo mediante el cambio de base a base $n$.

1. Transformación del lado izquierdo (LHS):
$$ \log_{ab} n = \frac{1}{\log_n (ab)} $$
Expandimos el denominador por la propiedad del producto:
$$ \log_{ab} n = \frac{1}{\log_n a + \log_n b} $$

2. Relación con las bases originales:
Recordamos la propiedad de inversión $\log_n a = \frac{1}{\log_a n}$ y $\log_n b = \frac{1}{\log_b n}$. Sustituimos en la fracción:
$$ \log_{ab} n = \frac{1}{\frac{1}{\log_a n} + \frac{1}{\log_b n}} $$

3. Simplificación algebraica:
Operamos la suma de fracciones en el denominador común:
$$ \frac{1}{\log_a n} + \frac{1}{\log_b n} = \frac{\log_b n + \log_a n}{\log_a n \log_b n} $$
Por lo tanto:
$$ \log_{ab} n = \frac{1}{\frac{\log_a n + \log_b n}{\log_a n \log_b n}} $$
Aplicando la división de fracciones (extremos con extremos, medios con medios):
$$ \log_{ab} n = \frac{\log_a n \log_b n}{\log_a n + \log_b n} $$

Resultado:
Identidad demostrada satisfactoriamente.
$$ \boxed{ \log_{ab} n = \frac{\log_a n \log_b n}{\log_a n + \log_b n} } $$