Para demostrar esta identidad clásica, aplicaremos logaritmos en base $a$ a ambos lados de la igualdad para verificar su equivalencia.

Paso 1: Análisis del miembro izquierdo (LHS):
Sea $L = b^{\log_a c}$. Aplicamos logaritmo en base $a$:
$$ \log_a (b^{\log_a c}) $$
Por la propiedad de la potencia ($\log_x y^k = k \log_x y$):
$$ \log_a c \cdot \log_a b $$

Paso 2: Análisis del miembro derecho (RHS):
Sea $R = c^{\log_a b}$. Aplicamos logaritmo en base $a$:
$$ \log_a (c^{\log_a b}) $$
Nuevamente, por la propiedad de la potencia:
$$ \log_a b \cdot \log_a c $$

Paso 3: Conclusión de la igualdad:
Observamos que ambos resultados son productos de los mismos términos:
$$ \log_a c \cdot \log_a b = \log_a b \cdot \log_a c $$
Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, las expresiones son iguales. Dado que los logaritmos de los números son iguales, los números mismos deben ser iguales.

Resultado:
$$ \boxed{ b^{\log_a c} = c^{\log_a b} } $$