1. Análisis de las condiciones (Base 3):
Descomponemos los argumentos en factores:

• $\log_3 15 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5 = b$
  $\implies \log_3 5 = b - 1$
• $\log_3 20 = \log_3 (2^2 \cdot 5) = 2 \log_3 2 + \log_3 5 = a$
  Sustituimos $\log_3 5$:
  $2 \log_3 2 + (b - 1) = a \implies 2 \log_3 2 = a - b + 1 \implies \log_3 2 = \frac{a - b + 1}{2}$

2. Transformación de la expresión objetivo:
Queremos hallar $\log_2 360$. Cambiamos a base 3:
$$\log_2 360 = \frac{\log_3 360}{\log_3 2}$$

3. Cálculo de $\log_3 360$:
Descomponemos $360 = 36 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$:
$$\log_3 360 = \log_3(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5) = 3 \log_3 2 + 2 \log_3 3 + \log_3 5$$
Sustituyendo los valores hallados en el paso 1:
$$\log_3 360 = 3 \left( \frac{a - b + 1}{2} \right) + 2(1) + (b - 1)$$
$$\log_3 360 = \frac{3a - 3b + 3}{2} + b + 1 = \frac{3a - 3b + 3 + 2b + 2}{2}$$
$$\log_3 360 = \frac{3a - b + 5}{2}$$

4. División final:
$$\log_2 360 = \frac{\frac{3a - b + 5}{2}}{\frac{a - b + 1}{2}} = \frac{3a - b + 5}{a - b + 1}$$

$$ \boxed{\log_2 360 = \frac{3a - b + 5}{a - b + 1}} $$